N(x) = f[x0] + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0,...,xn](x-x0)...(x-x_{n-1})
其中
f[x0,...,xk]是 k 阶差商。
差商表可视化示例:
假设：对于点 (1,1), (2,4), (3,9)，(4,16)
差商表:索引 x y=f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 1 1 2 4 2 3 9 3 4 16一级商差：f[x₀, x₁] = (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀) = (4 - 1) / (2 - 1) = 3/1 = 3 f[x₁, x₂] = (9 - 4) / (3 - 2) = 5/1 = 5 f[x₂, x₃] = (16 - 9) / (4 - 3) = 7/1 = 7 更新表： 索引 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 1 3 1 2 4 5 2 3 9 7 3 4 16二级商差：
f[x₀, x₁, x₂] = (f[x₁, x₂] - f[x₀, x₁]) / (x₂ - x₀) = (5 - 3) / (3 - 1) = 2/2 = 1 f[x₁, x₂, x₃] = (f[x₂, x₃] - f[x₁, x₂]) / (x₃ - x₁) = (7 - 5) / (4 - 2) = 2/2 = 1 更新表： 索引 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 1 3 1 2 4 1 5 2 3 9 1 7 3 4 16三级商差：
f[x₀, x₁, x₂, x₃] = (f[x₁, x₂, x₃] - f[x₀, x₁, x₂]) / (x₃ - x₀) = (1 - 1) / (4 - 1) = 0/3 = 0 更新完整表： 索引 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 1 3 1 2 4 1 5 0 2 3 9 1 7 3 4 16差商表的完整形式
按对角线提取差商系数：
差商系数（取自第一行）： a₀ = f[x₀] = 1 a₁ = f[x₀, x₁] = 3 a₂ = f[x₀, x₁, x₂] = 1 a₃ = f[x₀, x₁, x₂, x₃] = 0牛顿插值多项式：
N(x) = a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁) + a₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂) = 1 + 3(x-1) + 1·(x-1)(x-2) + 0·(x-1)(x-2)(x-3) = 1 + 3x - 3 + (x² - 3x + 2) = x²性质3：多项式的差商
对于n次多项式：
0到n阶差商非零
n+1阶及更高阶差商为0
本例中 f(x)=x² 是二次多项式，所以三阶差商为0。
核心思想：差商将连续函数的导数概念推广到离散数据点，使我们能用多项式拟合任意离散数据。牛顿插值的优势在于：增加新数据点时，只需计算新的差商，不需要重新计算所有系数。
java编程测试：
package testHtt; public class NiuDun { public static void main(String[] args) { // 测试数据点 double[] x = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0}; double[] y = {1.0, 4.0, 9.0, 16.0}; // f(x) = x^2 double targetX = 2.5; double result = newtonInterpolate(x, y, targetX); System.out.printf("在 x = %.2f 处的插值结果为: %.6f\n", targetX, result); System.out.printf("实际值应为: %.2f\n", 2.5 * 2.5); } /** * 计算牛顿插值 * @param x 已知点的x坐标数组 * @param y 已知点的y坐标数组 * @param targetX 需要插值的x坐标 * @return 插值结果 */ public static double newtonInterpolate(double[] x, double[] y, double targetX) { int n = x.length; double[][] dividedDifferences = new double[n][n]; // 初始化0阶差商（即函数值） for (int i = 0; i < n; i++) { dividedDifferences[i][0] = y[i]; } // 计算各阶差商 for (int j = 1; j < n; j++) { for (int i = 0; i < n - j; i++) { dividedDifferences[i][j] = (dividedDifferences[i + 1][j - 1] - dividedDifferences[i][j - 1]) / (x[i + j] - x[i]); } } // 计算插值结果 double result = dividedDifferences[0][0]; // f[x0] double product = 1.0; for (int i = 1; i < n; i++) { product *= (targetX - x[i - 1]); result += dividedDifferences[0][i] * product; } return result; } }递归计算差商
public class RecursiveNewtonInterpolation { /** * 递归计算k阶差商 */ public static double dividedDifference(double[] x, double[] y, int i, int j) { if (i == j) { return y[i]; } return (dividedDifference(x, y, i + 1, j) - dividedDifference(x, y, i, j - 1)) / (x[j] - x[i]); } /** * 使用递归差商计算插值 */ public static double interpolate(double[] x, double[] y, double targetX) { int n = x.length; double result = y[0]; double product = 1.0; for (int i = 1; i < n; i++) { product *= (targetX - x[i - 1]); // 递归计算i阶差商 result += dividedDifference(x, y, 0, i) * product; } return result; } public static void main(String[] args) { double[] x = {0, 1, 2, 3}; double[] y = {1, 2, 4, 8}; // 近似指数 System.out.println("差商表:"); for (int i = 0; i < x.length; i++) { for (int j = i; j < x.length; j++) { double dd = dividedDifference(x, y, i, j); System.out.printf("f[x%d,...,x%d] = %.6f\t", i, j, dd); } System.out.println(); } double testX = 1.5; double result = interpolate(x, y, testX); System.out.printf("\n在 x = %.2f 处的插值结果: %.6f\n", testX, result); } })
)
