1.3 解析法求极限

1.左右极限法判断极限是否存在

2.极限的相关定律

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1.左右极限法判断极限是否存在

用左右极限法证明极限不存在的核心逻辑是:

考虑分段函数:当x>=0，f(x)=x+1;当x<0时,f(x)=x-1当x->0时,极限是否存在limx->0f(x)是否存在

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2.极限的相关定律

1).如果limx->0|f(x)|=0,则limex->0f(x)=0成立

证明:根据函数极限的定义,limx→0​∣f(x)∣=0等价于:对任意给定的ε>0,存在δ>0,使得当0<∣x−0∣<δ（即0<∣x∣<δ）时​∣f(x)∣−0​<ε,而绝对值的性质告诉我们:​∣f(x)∣ −0​=∣f(x)∣,因此上述不等式可简化∣f(x)∣<ε 我们要证的limx→0​f(x)=0,其定义是:对任意给定的ε>0,存在δ>0,使得当0<∣x∣<δ时,∣f(x)−0∣<ε 而∣f(x)−0∣就是∣f(x)∣

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2).合成函数:如果f和g是两个函数,limx->ag(x)=L,limx->Lf(x)=f(L),则复 合函数limx->af(g(x))=f(L)诀窍在于:当x->a时,里层函数先变换,里层函数变换带动外层函数变换

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3).如果f和g是定义在I上的两个函数,a属于I两个函数的定义域中不包含a,且f(x)<=g(x)limx->af(x)存在,limx->ag(x)存在,则limx->af(x)<=limx->ag(x)

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4).夹积定理:如果f(x)<=h(x)<=g(x),定义域中不包含a,limx->af(x)=L=limx->ag(x),则limx->ah(x)=L

以limx→0​ x2sinx1​为例,完整演示夹积定理的应用 a.分析目标函数

b.构造上下界

c.计算上下界函数的极限

d.应用夹积定律