基于线性化的设计示例及非线性飞行控制
1. 非正则单输入单输出系统的近似线性化
在控制理论中，对于单输入单输出（SISO）系统，存在一类不具有相对度的系统，被称为非正则系统。这类系统的一般形式为：
[
\begin{cases}
\dot{x} = f(x) + g(x)u \
y = h(x)
\end{cases}
]
其中 (x \in \mathbb{R}^n)，(u, y \in \mathbb{R})，(f) 和 (g) 是 (\mathbb{R}^n) 上的光滑向量场，(h) 是光滑函数。我们假设 (x = 0) 是无驱动系统的平衡点，此时 (L_gL_f^{i - 1}h(x) = 0) 在 (x = 0) 处成立，但在 (x = 0) 的邻域 (U) 内并不恒为零，即 (L_gL_f^{i - 1}h(x)) 是 (O(x)) 阶的函数而非 (O(1)) 阶。
为了处理这类系统，我们寻求一组状态函数 (\phi_i(x))（(i = 1, \cdots, \gamma)），以特殊方式近似输出及其导数。具体步骤如下：
1. 首先，第一个函数 (\phi_1(x)) 应近似输出函数，即 (h(x) = \phi_1(x) + \psi_0(x, u))，其中 (\psi_0(x, u)) 是 (O(x, u)^2) 阶的函数。
2. 然后，沿系统轨迹对 (\phi_1(x)) 求导，得到 (\dot{\phi}1(x) = L_fh(x) + L_gh(x)u)。若 (L_gh(x)) 是 (O(x)) 阶或更高阶，我们在选择 (\phi_2(x)) 时忽略它（必要时也可忽略 (L_f
