题目与约束
给定 prices，prices[i] 是第 i 天的股价。
最多完成 2 次「买入 + 卖出」交易。
不能同时持有多笔仓位：必须先卖掉才能再买。
目标是最大利润，可以是 0。
这类题的本质是：在时间线上做一系列「买 / 卖 / 不动」决策，并受到「次数上限」和「持仓状态」限制，非常适合建状态机 + DP。
三维 DP 状态设计
最通用、教科书式的状态是三维 dp[i][j][k]：labuladong+1
- i：天数下标，0…n-1，对应 prices[i]。
- j：还能完成的「卖出」次数（交易次数），这里最多 2，所以 j∈{0,1,2}。leetcode
- k：当前是否持股：
- k=0：不持股；
- k=1：持股。
定义：
dp[i][j][0]：第 i 天结束时，不持股，之后还可以做 j 次卖出的最大利润。dp[i][j][1]：第 i 天结束时，持股，之后还可以做 j 次卖出的最大利润。leetcode
用「还能卖 j 次」的好处是：卖出时很自然写成「从 j+1 转移到 j」，表达“卖出消耗一次交易”的意思。
状态转移公式
设今天是第 i 天，价格 price = prices[i]。
1）今天结束时不持股（k=0）：
两种可能：
昨天也不持股，今天不操作：
dp[i-1][j][0]昨天持股，今天卖出，消耗一次卖出机会：
dp[i-1][j+1][1] + priceleetcode
所以：
dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0], dp[i-1][j+1][1] + price)注意：只有在 j+1≤2 时，第二项才有效，否则不存在 dp[i-1][j+1]，这时直接视为「不可能」，不会取。leetcode
2）今天结束时持股（k=1）：
两种可能：
昨天就持股，今天不操作：
dp[i-1][j][1]leetcode昨天不持股，今天买入，不消耗卖出次数：
dp[i-1][j][0] − price
所以：
dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j][1], dp[i-1][j][0] - price)这两条就完整刻画了「不持股 / 持股」两种状态在时间上的演化。
边界与初始化
时间边界 i=0 单独处理：
**第 0 天不持股：**利润为 0。
- 对所有 j：
dp[0][j][0] = 0。
- 对所有 j：
**第 0 天持股：**等价于第 0 天买入一股。
- 对 j≥1：
dp[0][j][1] = -prices[0]。leetcode
- 对 j≥1：
对于 j=0（之后不能再卖）：
dp[i][0][0]：不持股，已经不能再卖，利润就是「之前已经赚到的」，在本题中可以安全设为 0 的下界。dp[i][0][1]：手里有股票但永远不能卖，这种状态在逻辑上是无效的，应该设为一个非常小的负数（负无穷），保证后续 max 时永远不会选到。leetcode
代码里通常用一个常量 NEG_INF 来代表「不可能的状态」，比如 -1e9：
#defineNEG_INF-1000000000三维 DP 的 C 代码实现
下面是完整的 C 代码，用三维数组 dp[i][j][k] 实现「最多两次交易」：geeksforgeeks+1
#include<stdio.h>#defineMAX(a,b)((a)>(b)?(a):(b))#defineMAXN100000#defineNEG_INF-1000000000intmaxProfit(int*prices,intpricesSize){if(pricesSize==0)return0;intn=pricesSize;intK=2;// 最多 2 次交易（卖出）// dp[i][j][k]:// i: 第 i 天 (0..n-1)// j: 还能完成的卖出次数 (0..K)// k: 是否持股 (0 不持股, 1 持股)staticintdp[MAXN][3][2];// 初始化第 0 天for(intj=0;j<=K;++j){dp[0][j][0]=0;// 第 0 天不持股，利润为 0dp[0][j][1]=-prices[0];// 第 0 天买入一股}// 还能卖 0 次但持股：无效状态dp[0][0][1]=NEG_INF;// 状态转移：i 从 1 开始，因为 i=0 已经手动初始化好for(inti=1;i<n;++i){for(intj=0;j<=K;++j){intprice=prices[i];// 1. 不持股：max(昨天不持股, 昨天持股今天卖)intstay_no_stock=dp[i-1][j][0];intsell_today=NEG_INF;if(j+1<=K){sell_today=dp[i-1][j+1][1]+price;}dp[i][j][0]=MAX(stay_no_stock,sell_today);// 2. 持股：max(昨天持股, 昨天不持股今天买)intstay_stock=dp[i-1][j][1];intbuy_today=dp[i-1][j][0]-price;dp[i][j][1]=MAX(stay_stock,buy_today);}// 还能卖 0 次但持股仍然无效dp[i][0][1]=NEG_INF;}// 最多 2 次交易，最后一天不持股的最大利润intans=dp[n-1][2][0];// 本题允许 0 利润，防止 ans 为负数时返回负值returnans<0?0:ans;}细节解释：
i 从 1 开始循环，是因为 i=0 那一行已经手动初始化，转移都从 i-1 来，避免出现 dp[-1][…] 越界。
sell_today 初值设为 NEG_INF，表示「默认卖出这条路走不通」，只有在 j+1 <= K 且前一状态有效时才更新。
当 j=2 时，j+1=3>K，就没有「还能卖 3 次」这个状态，所以不能通过「卖出」到达 dp[i][2][0]，只能从「昨天不持股、还能卖 2 次」继承。
与 4 个一维状态的等价关系
三维 DP 是最清晰的「教科书版本」，但这题最多只允许 2 次交易，可以进一步压缩成 4 个一维状态：algo+1
- buy1：做完「第一次买入」后的最大利润（持股）。
- sell1：做完「第一次卖出」后的最大利润（不持股）。
- buy2：做完「第二次买入」后的最大利润（持股）。
- sell2：做完「第二次卖出」后的最大利润（不持股）。
对每一天的 price：
buy1=max(buy1,-price);// 第一次买sell1=max(sell1,buy1+price);// 第一次卖buy2=max(buy2,sell1-price);// 第二次买sell2=max(sell2,buy2+price);// 第二次卖这 4 个状态可以理解为把三维 dp[i][j][k] 中真正会被用到的那几类状态抽出来，省去了显式的 i 维和 j 维，从而把空间压缩到 O(1)。codeanddebug+1
小结：思维路径
先用三维 dp[i][j][k] 把「时间 / 交易次数 / 持仓状态」都写清楚。
写出两条核心转移：
- **不持股：**max(昨天不持股, 昨天持股今天卖)。
- **持股：**max(昨天持股, 昨天不持股今天买)。
处理好边界：
- i=0 单独初始化；
- j=0 的持股设为负无穷。
理解以后，再把只用到的状态压缩成 4 个一维变量，写成常见的 buy1/sell1/buy2/sell2 解法。
这一整套就是「通用股票 DP 模板」在 LeetCode 123 上的完整展开版，用它可以推广到「k 次交易」「冷冻期」「手续费」等变种。takeuforward+1
