2.6 基本子空间和秩

1.四个基本子空间

2.计算左零空间

3.秩

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1.四个基本子空间

对于一个m*n的矩阵A(有m行,n列),该矩阵A有四个重要的向量子空间 a.列空间(ColumnSpace)-C(A)-定义:由矩阵A的所有列向量张成(线性组合生成)的子空间-所在空间:Rᵐ(每个列向量有m个向量)-几何意义:Ax=b,线性无关的列向量组成-维度:矩阵的秩(Rank),记为r b.零空间(Nullspace)-N(A)-定义:所有满足方程Ax=0的向量x构成的子空间-所在空间:Rⁿ("x和未知数的个数有关")-维度:n-r c.行空间(RowSpace)-C(A^t)-定义:由矩阵A的行向量张成的子空间,等价于A的转置A^t的列空间-所在空间:R^n-维度:同样是矩阵的r,"行秩 = 列秩 = r"d.左零空间(LeftNullspace)-N(A^t)-定义:所有满足方程Aᵀy=0(yᵀA=0ᵀ)的向量y构成的子空间-所在空间:R^m-维度:m-r

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2.计算左零空间

给定m*n矩阵,秩为r

示例:

a.行化简

b.通过增广矩阵求E

现在得到[E|U]，其中：

c.提取左零空间基

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3.秩

秩r是"矩阵真正有效的独立方向数"a.定义:矩阵中线性无关的列向量(或行向量)的最大数目 b.关键性质:"行秩 = 列秩",即最大的线性无关行数=最大的线性无关列数=r c.秩的意义:-列空间的维度 秩r告诉我们,通过A的线性变换,列向量能张成多大的子空间-行空间的维度 秩r告诉我们,通过A的线性变换,行向量能张成多大的子空间-零空间的维度dim(列空间)+dim(零空间)=n,r+(n-r)=n-左零空间的维度dim(行空间)+dim(左零空间)=m,r+(m-r)=m