我国的三峡大坝威武雄壮，惊叹之余，想不想知道水坝设计中的一些微积分应用知识？水坝的设计确实有不少的讲究。通常，水坝的迎水面要陡一些，背水面要缓一些。其一，水坝的切面就像是一个梯形。这样底座更稳。其二，水坝被设计成斜坡。因为水的压力垂直于坝面，可引导压力斜向产生作用，所以迎水面的斜向设计可以减少一些水平面的压力。其三，背水面设计成更缓的斜坡。有利于稳固坝基，与周围地势地形结合更好，且更方便检修、维修人员在背面作业。
要想看更多有趣的微积分故事、知识，请参见清华大学出版社的《人人可懂的微积分——用动态、微观、累加的观点来看待微积分》（邓子云著）。
工程上经常需要计算迎水面的压力，以便选择坝体的材料、设计水坝警戒的水位等。那怎么计算迎水面的压力呢？
图1 水坝的设计思路
如图1所示。设迎水面与水面的夹角为θ \thetaθ，迎水面与垂直线的夹角为α \alphaα。则有：
sin θ = cos ( π 2 − θ ) \sin\theta = \cos{(\frac{\pi}{2} - \theta)}sinθ=cos(2π−θ)
因为在不同的高度时，水的压强不同，导致压力也会不同，所以考虑以h作为微分。则迎水面斜坡长的微分d m dmdm为：
d m = dh cos α = dh cos ( π 2 − θ ) = dh sin θ dm = \frac{\text{dh}}{\cos\alpha} = \frac{\text{dh}}{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)} = \frac{\text{dh}}{\sin\theta}dm=cosαdh=cos(2π−θ)dh=sinθdh
迎水面的宽L是固定的值。从微观视角来看，迎水面的面积微分是：
dS = L × d m = L dh sin θ \text{dS} = L \times dm = L\frac{\text{dh}}{\sin\theta}dS=L×dm=Lsinθdh
从物理学的力学知识可知，压强与面积的乘积为压力。可得：
d F = ρ g h × d S = ρgL sin θ hdh dF = \rho gh \times dS = \frac{\text{ρgL}}{\sin\theta}\text{hdh}dF=ρgh×dS=sinθρgLhdh
上式中，ρ \rhoρ为水的密度，g gg为重力常数。再做不定积分，可求得压力F的通用表达式：
F = ∫ dF = ∫ ρgL sin θ hdh = ρgL 2 s i n θ h 2 + C F = \int_{}^{}\text{dF} = \int_{}^{}{\frac{\text{ρgL}}{\sin\theta}\text{hdh}} = \frac{\text{ρgL}}{{2sin}\theta}h^{2} + CF=∫dF=∫sinθρgLhdh=2sinθρgLh2+C
如果要计算水深h米时的大坝压力就要用到定积分知识了。实质上就是用上述的不定积分式子做某高度区间条件下的定积分计算。
◎以下计算过程阅读如有困难，可跳过。可以在学习过后续知识后再回头阅读。
我先给出定积分计算的结果，本博客后续还会讲解定积分具体是怎么计算的。假定要计算水深a aa米至b bb米区间迎水面的压力，则为定积分：
F = ρgL sin θ ∫ a b hdh = ρgL 2 s i n θ h 2 ∣ a b = ρgL 2 s i n θ ( b 2 − a 2 ) F = \frac{\text{ρgL}}{\sin\theta}\int_{a}^{b}\text{hdh} = \left. \ \frac{\text{ρgL}}{{2sin}\theta}h^{2} \right|_{a}^{b} = \frac{\text{ρgL}}{{2sin}\theta}\left( b^{2} - a^{2} \right)F=sinθρgL∫abhdh=2sinθρgLh2ab=2sinθρgL(b2−a2)
如，水的密度为ρ = 1000 k g / m 3 \rho = 1000kg/m^{3}ρ=1000kg/m3,
常数g = 9.8 m / s 2 g = 9.8m/s^{2}g=9.8m/s2，水坝长L = 100 m L = 100mL=100m，水深h = 10 m h = 10mh=10m，夹角θ = π 3 \theta = \frac{\pi}{3}θ=3π。则水对水坝的压力为：
F = 1000 × 9.8 × 100 2 sin π 3 10 2 ≈ 572453.33 N F = \frac{1000 \times 9.8 \times 100}{2\sin\frac{\pi}{3}}10^{2} \approx 572453.33NF=2sin3π1000×9.8×100102≈572453.33N
分解到水平方向的压力为：
F x = F sin θ = 572453.33 sin π 3 = 490000 N F_{x} = F\sin\theta = 572453.33\sin\frac{\pi}{3} = 490000NFx=Fsinθ=572453.33sin3π=490000N
◎选读内容结束
要想看更多有趣的微积分故事、知识，请参见清华大学出版社的《人人可懂的微积分——用动态、微观、累加的观点来看待微积分》（邓子云著）。
定积分在许多领域还有重要的应用：
**（1）定积分是后续学习多重积分的基础。**对积分区域求多重积分时，需要做多次定积分计算。
**（2）定积分在工程实践、科学计算都有广泛运用。**定积分在几何上可用于求曲面的面积、旋转体的体积。在物理学领域，定积分可用于求变力所做的功，求液体对其中档板的压力（如前述的水坝压力计算示例）。
**（3）定积分在不定积分的基础上为各种应用计算出具体的值。**不定积分计算出来的是函数，有了定积分就可以在求不定积分的基础上进一步求出具体的值。如，用不定积分在已知加速度函数时可求速度函数，有了定积分就可以计算出某个时间段里速度共计增加了多少。
答疑解惑：计算定积分有什么诀窍？
**（1）学生问：**老师，从前述水坝压力计算的示例来看，迎水面越缓，θ \thetaθ角越小（不超过90度），sin θ \sin\thetasinθ也越小，则计算出来的压力就会越大，是这样吗？
**简要回答：**确实是这样的。所以，迎水面不宜太缓。
**（2）学生问：**老师，学会计算定积分有什么诀窍吗？
**简要回答：**有的。我认为有三点需要把握。一是要打好不定积分的基础。否则计算不出不定积分函数，也就无法计算定积分。二是要掌握和熟练运用"牛顿-莱布尼茨"公式。三是带着几何意义来理解和计算应用。
要想看更多有趣的微积分故事、知识，请参见清华大学出版社的《人人可懂的微积分——用动态、微观、累加的观点来看待微积分》（邓子云著）。
