43、线性化设计示例：奇异摄动零动态与驱动动态

线性化设计示例：奇异摄动零动态与驱动动态

1. 引言

在控制理论中，非线性系统的控制设计是一个具有挑战性的问题。输入 - 输出线性化是一种重要的方法，可将非线性系统转化为线性系统进行处理。本文将探讨非线性系统在参数变化时零动态的摄动问题，以及如何应用输入 - 输出线性化理论进行系统设计。

2. 单输入单输出（SISO）奇异摄动零动态与驱动动态

2.1 系统描述

考虑依赖于参数 ( \epsilon ) 的系统族，其形式为：
[
\begin{cases}
\dot{x} = f(x, \epsilon) + g(x, \epsilon)u \
y = h(x, \epsilon)
\end{cases}
]
其中 ( f(x, \epsilon) ) 和 ( g(x, \epsilon) ) 的列是光滑向量场，( h(x, \epsilon) ) 是在 ( (x_0, 0) ) 邻域内定义的光滑函数。当 ( \epsilon = 0 ) 时的系统称为标称系统，( \epsilon \neq 0 ) 时的系统称为摄动系统。假设 ( x = x_0 ) 是标称系统的平衡点，即 ( f(x_0, 0) = 0 )，且 ( h(x_0, 0) = 0 )。

2.2 相对度变化与零动态

如果系统的相对度 ( \gamma(\epsilon) ) 在 ( \epsilon \neq 0 ) 时为 ( r + d )，在 ( \epsilon = 0 ) 时为 ( r )，则摄动非线性系统存在快速时间尺度零动态。根据相对度的定义，有：
- 对于