拉普拉斯算子与扩散方程-平芜编程栈

如果我写出这样的表达式：

∂∂tP(connection)=−λ∇2entropy\frac{\partial}{\partial t} P(\text{connection}) = -\lambda \nabla^2 \text{entropy}∂t∂P(connection)=−λ∇2entropy

你可能会问：“那个横着的三角形的平方是什么？”

我会解释：“那是拉普拉斯算子，它衡量的是熵在空间上的扩散程度。”

当然，真的存在扩散方程。热传导方程：

∂u∂t=α∇2u\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u∂t∂u=α∇2u

其中uuu为温度，α\alphaα为热扩散率。

下面是，拉普拉斯算子，让我们好好地把它构建出来。

首先，梯度∇\nabla∇：

如果你有一个函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)，例如，曲面上每个点的温度，梯度是：

∇f=(∂f∂x,∂f∂y)\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)∇f=(∂x∂f,∂y∂f)

它指向增长最快的方向，并告诉你fff的变化速度。

拉普拉斯算子∇2\nabla^2∇2是梯度散度：

∇2f=∂2f∂x2+∂2f∂y2\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}∇2f=∂x2∂2f+∂y2∂2f
它衡量的是：“平均而言，这个点比它的邻近点更热还是更冷？”

如果∇2f>0\nabla^2 f > 0∇2f>0：你的邻居比你热，所以热量流向你
如果∇2f<0\nabla^2 f < 0∇2f<0：你比邻居热，热量流离你
如果∇2f=0\nabla^2 f = 0∇2f=0：你与周围环境处于热平衡状态

所以，在热传导方程∂u∂t=α∇2u\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u∂t∂u=α∇2u中，它表示：“温度的变化取决于你与邻居的温度差异。”

在一维空间中，是的：∂2f∂x2>0\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0∂x2∂2f>0表示凸（向上弯曲），<0< 0<0表示凹（向下弯曲）。

但是拉普拉斯算子会累加所有方向的曲率。所以，即使函数在一个方向上是凹的，只要它在另一个方向上足够凸，∇2f\nabla^2 f∇2f也可能为正。

更好的解释是：

∇2f=所有方向的平均曲率\nabla^2 f = \text{所有方向的平均曲率}∇2f=所有方向的平均曲率

或者更物理地说：相对于相邻区域而言的局部曲率过高或过低。

想象曲面上的一个点：

如果它位于一个凹陷处（周围是较高的值）→∇2f>0\nabla^2 f > 0∇2f>0
如果它位于一个凸起处（周围是较低的值）→∇2f<0\nabla^2 f < 0∇2f<0
如果它位于一个鞍点或平坦处 →∇2f=0\nabla^2 f = 0∇2f=0

这不仅仅关乎函数是向上弯曲还是向下弯曲，而是关乎从各个方向同时观察时的平均曲率。

Hessian 矩阵包含了所有二阶信息：

H=(∂2f∂x2∂2f∂x∂y∂2f∂y∂x∂2f∂y2)H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}H=(∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f)