GESP2025年6月认证C++二级( 第三部分编程题 1、数三角形）

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《数三角形的秘密》

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📖 一、故事背景：三角形王国 🏰

1、在三角形王国里，有一种特别的三角形，叫做：

直角三角形

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2、它有：

• 两条直角边（互相垂直 📐）

• 一条斜边

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3、国王提出了一个问题：

👉 如果两条直角边的长度都是不超过 N 的正整数
👉有多少个直角三角形，它们的面积是整数？

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4、我们的任务：
🎯帮国王数清楚，一共有多少个这样的三角形！

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🧠 二、先别急写代码，先想清楚！

1️⃣ 面积公式（先搞清楚）

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2️⃣ 什么时候面积是“整数”？

（1）面积是整数 ⇔

a × b 是 偶数

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（2）📌 因为：

• 偶数 ÷ 2 = 整数

• 奇数 ÷ 2 = 0.5（不是整数）

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🧩 三、把问题拆成“小任务”

1、🎯 总目标

数一数有多少组(a, b)，满足：

• a、b 是正整数

• a ≤ N

• b ≤ N

• 面积是整数

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2、⚠️ 重要规则

题目说：

两个三角形(a, b)和(b, a)是同一个

也就是说：

👉3 和 4
👉4 和 3

只能算一次❗

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3、✅ 解决办法

我们规定：

b 从 a 开始枚举

这样就不会重复数。

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🧮 四、用小例子先算一遍

🌟 假设 N = 3

所有可能的(a, b)：

a	b	a×b	面积	合格？
1	1	1	0.5	❌
1	2	2	1	✅
1	3	3	1.5	❌
2	2	4	2	✅
2	3	6	3	✅
3	3	9	4.5	❌

👉 一共3 个

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🧠 五、把思路翻译成“程序语言”

采用枚举算法：

用两层 for 循环枚举直角边
如果a * b是偶数，就计数加 1

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💻 六、参考程序

#include <iostream> using namespace std; int main() { int N; cin >> N; int cnt = 0; // 用来数三角形的数量 // 枚举第一条直角边 for (int a = 1; a <= N; a++) { // 枚举第二条直角边（从 a 开始，避免重复） for (int b = a; b <= N; b++) { // 判断面积是否为整数 if ((a * b) % 2 == 0) { cnt++; } } } cout << cnt << endl; return 0; }

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🧩 七、关键代码逐句讲解

🔹 1. 为什么b = a开始？

for (int b = a; b <= N; b++)

👉 防止(3,4)和(4,3)重复计算
👉这是得分的关键细节！

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🔹 2. 为什么只判断(a * b) % 2 == 0？

if ((a * b) % 2 == 0)

因为：

• 偶数 ÷ 2 = 整数

• 面积就一定是整数

不用真的去算面积，省时间、省麻烦！

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🎯 八、考试常见扣分点

❌ 错误 1：内循环，写成b = 1，从1开始，有重复
→ 会重复算

❌ 错误 2：判断面积为整数， 判断条件写成赋值“=”！

(a * b) % 2 = 0，

→ 会出错

❌ 错误 3：cnt 忘记 赋初值为 0，cnt++结果就会错！

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🧩九、附：枚举算法通用模版：

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🟡 模板 1：从 1 数到 N（最基础）

1、🎒 小故事

老师要点名，从 1 号到 N 号，一个都不漏。

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2、💻 模板代码

for (int i = 1; i <= N; i++) { // 用 i 做事情 }

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3、🌟 常见用途

• 数数

• 累加

• 判断奇偶

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🟡 模板 2：区间枚举（L 到 R）

1、🎒 小故事

从第 L 本书，看到第 R 本书。

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2、💻 模板代码

for (int i = L; i <= R; i++) { // 检查 i }

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🟡 模板 3：双重枚举（两层 for）

1、🎒 小故事

每一对都试试

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2、💻 模板代码

for (int i = 1; i <= N; i++) { for (int j = 1; j <= M; j++) { // (i, j) 是一组情况 } }

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3、🌟 典型用途

• 表格

• 两个数的组合

• 二维问题

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🟡 模板 4：防止重复的双枚举（非常重要 ⭐）

1、🎒 小故事

选两个人握手，A 和 B、B 和 A 是同一次

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2、💻 模板代码

for (int i = 1; i <= N; i++) { for (int j = i; j <= N; j++) { // (i, j) 不重复 } }

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3、🌟 考试常见

• 本题三角形判断

• 配对问题

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🟡 模板 5：带条件的枚举（if 判断）

1、🎒 小故事

只数“戴帽子的小朋友” 🎩

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2、💻 模板代码

for (int i = 1; i <= N; i++) { if (条件) { // 满足条件才做事 } }

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3、🌟 例子

if (i % 3 == 0)

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🟡 模板 6：枚举 + 计数器（考试最爱）

1、🎒 小故事

看到一个符合要求的，就在本子上打 ✔

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2、💻 模板代码

int cnt = 0; for (int i = 1; i <= N; i++) { if (条件) { cnt++; } }

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🟡 模板 7：枚举 2 的幂

1、🎒 小故事

数字会“翻倍生长” 🌱

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2、💻 模板代码

for (int x = 1; x <= N; x *= 2) { // x = 1, 2, 4, 8, ... }

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🟡 模板 8：枚举数组（数组索引）

1、🎒 小故事

检查一排盒子里的东西 📦

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2、💻 模板代码

for (int i = 0; i < n; i++) { // a[i] }

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🟡 模板 9：枚举字符串中的字符

1、🎒 小故事

一个字母一个字母读 📖

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2、💻 模板代码

for (int i = 0; i < s.length(); i++) { char c = s[i]; }

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🟡 模板 10：枚举二维数组（二维数组索引）

1、🎒 小故事

走棋盘 ♟️

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2、💻 模板代码

for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < m; j++) { // a[i][j] } }

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🧠 枚举算法“必背三句话”

📌
1️⃣ 枚举 = 不偷懒，一个一个来
2️⃣ for 写对范围，成功一半
3️⃣ 重复问题 → 第二层从 i 开始

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🎯 GESP考试“万能枚举套路”

读题 ↓ 想清楚：枚举什么？ ↓ for 循环写出来 ↓ if 判断条件 ↓ cnt++ ↓ 输出

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