分数阶金融系统的建模、应用以及仿真方法是一个将分数阶微积分的记忆特性与传统金融混沌模型结合的典型应用。
1. 分数阶金融系统模型
一个经典且被广泛研究的模型是分数阶金融混沌系统，它由整数阶模型推广而来，用于描述利率、投资需求和价格指数的非线性相互作用。
1.1 经典整数阶金融系统模型
首先回顾其整数阶形式（通常为三维）：
{ x˙=z+(y−a)xy˙=1−by−x2z˙=−x−cz \begin{cases} \dot{x} = z + (y - a)x \\ \dot{y} = 1 - by - x^2 \\ \dot{z} = -x - cz \end{cases}⎩⎨⎧x˙=z+(y−a)xy˙=1−by−x2z˙=−x−cz
其中：
- xxx：利率
- yyy：投资需求
- zzz：价格指数
- a,b,ca, b, ca,b,c：正的参数，分别表示储蓄量、投资成本、商品需求弹性。
当参数a=3.0,b=0.1,c=1.0a=3.0, b=0.1, c=1.0a=3.0,b=0.1,c=1.0时，系统处于混沌状态。
1.2 分数阶金融系统模型
将上述模型推广到分数阶，通常假设三个状态变量具有相同的分数阶次α\alphaα（也可以不同）。采用Caputo定义，模型变为：
{ Dαx=z+(y−a)xDαy=1−by−x2Dαz=−x−cz \begin{cases} D^\alpha x = z + (y - a)x \\ D^\alpha y = 1 - by - x^2 \\ D^\alpha z = -x - cz \end{cases}⎩⎨⎧Dαx=z+(y−a)xDαy
