[数字信号处理-入门] 频域分析

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文章目录

• [数字信号处理-入门] 频域分析
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• DTFT和DFT
• • • • 1. DTFT
      • 2. DFT
      • ZT -> DTFT -> DFT

DTFT和DFT

1. DTFT

X ( e j w ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j w n X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jwn}X(ejw)=n=−∞∑∞​x(n)e−jwn

DTFT的周期是2 π 2\pi2π,w ∈ [ 0 , 2 π ) w \in [0,2\pi)w∈[0,2π)

2. DFT

X ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π N n k x ( n ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( k ) e − j 2 π N k n X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk} \\ x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}X(k)=n=0∑N−1​x(n)e−jN2π​nkx(n)=N1​k=0∑N−1​X(k)e−jN2π​kn

将DTFT的w ww做N等分取样, 其取值就是DFT

也可以说是ZT的单位圆的N等分点

ZT -> DTFT -> DFT

ZT	DTFT	DFT
H ( z ) H(z)H(z)	H ( e j w ) H(e^{jw})H(ejw)	X ( k ) X(k)X(k)
∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}∑n=−∞∞​x(n)z−n	∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j w n \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jwn}∑n=−∞∞​x(n)e−jwn	∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π N n k \sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}∑n=0N−1​x(n)e−jN2π​nk