FIR 与 IIR 数字滤波器的区别总结
数字滤波器按冲激响应长度分为两类：**FIR（Finite Impulse Response，有限长冲激响应）**与IIR（Infinite Impulse Response，无限长冲激响应）。它们在结构、稳定性、相位特性、设计方法与实现成本等方面差异明显。
1. 定义与差分方程形式
FIR（非递归，无反馈）
y[n]=∑k=0Mbk,x[n−k] y[n]=\sum_{k=0}^{M} b_k,x[n-k]y[n]=k=0∑Mbk,x[n−k]
FIR 只有前向加权求和，没有反馈项，冲激响应在有限长度后变为 0，因此称“有限长”。
IIR（递归，有反馈）
y[n]=∑k=0Mbk,x[n−k]−∑k=1Nak,y[n−k] y[n]=\sum_{k=0}^{M} b_k,x[n-k]-\sum_{k=1}^{N} a_k,y[n-k]y[n]=k=0∑Mbk,x[n−k]−k=1∑Nak,y[n−k]
IIR 含反馈项，冲激响应通常无限延续，因此称“无限长”。
2. 系统函数、极点零点与稳定性
FIR
H(z)=∑k=0Mbkz−k H(z)=\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}H(z)=k=0∑Mbkz−k
FIR 为多项式形式（可看作仅有零点的结构，除延时带来的原点因素外无有限极点），在固定系数下天然稳定（BIBO 稳定）。
IIR
H(z)=∑k=0Mbkz−k1+∑k=1Nakz−k H(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{1+\sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k}}H(z)=1+∑k=1Nakz−k∑k=0Mbkz−k
IIR 为有理函数，具有零点与极点。稳定性取决于极点位置：全部极点在单位圆内才稳定。系数量化或设计不当可能造成稳定性风险。
3. 相位特性：线性相位谁更容易？
FIR 的优势：容易实现严格线性相位
若冲激响应满足对称或反对称：
- 对称：h[n]=h[M−n]h[n]=h[M-n]h[n]=h[M−n]
- 反对称：h[n]=−h[M−n]h[n]=-h[M-n]h[n]=−h[M−n]
则 FIR 可实现严格线性相位（群时延恒定），更利于波形不失真（音频、通信等场景常用）。
IIR：通常难以严格线性相位
IIR 一般很难做到严格线性相位（除非用全通补偿或特殊结构，代价高、实现复杂），多为近似线性相位。
4. 计算复杂度与实现成本
在满足相同幅频指标（如过渡带很窄、阻带衰减很高）的情况下：
- IIR 通常低阶就能达到要求
→ 乘法次数少、存储少、实时性好。 - FIR 往往需要更高阶数
→ 运算量更大，但结构更简单、稳定性更强、相位可控。
一句话：IIR 省阶数，FIR 省麻烦。
5. 设计方法与常见来源
IIR 设计（常由模拟原型变换）
- 巴特沃斯（Butterworth）
- 切比雪夫（Chebyshev）
- 椭圆（Elliptic）
- 常用变换：双线性变换、冲激响应不变法等
FIR 设计（多在数字域直接设计）
- 窗函数法（Window）
- 频率采样法（Frequency Sampling）
- 最小二乘 / 等波纹（Parks–McClellan）
6. 数值实现与误差敏感性
- **FIR：**无反馈，量化误差不在递归中累积，对系数量化更鲁棒。
- **IIR：**有反馈，量化误差可能循环放大，出现极点漂移、稳定性下降、限环振荡等问题；工程上常用二阶节（SOS）提高数值稳定性。
7. 典型应用
- 相位/波形保真要求高（严格线性相位）：优先 FIR
例如：音频均衡、通信成形滤波、相位敏感测量 - 资源有限但幅频指标陡峭:优先 IIR
例如：嵌入式实时低通/带通、低功耗实时滤波
8. 总结对比表
| 维度 | FIR | IIR |
|---|---|---|
| 冲激响应 | 有限长 | 无限长 |
| 结构 | 非递归（无反馈） | 递归（有反馈） |
| 稳定性 | 天然稳定 | 取决于极点位置 |
| 线性相位 | 易实现严格线性相位 | 通常难严格线性相位 |
| 阶数/运算量 | 通常更高阶、运算大 | 通常低阶、运算省 |
| 量化敏感性 | 低 | 高（可能影响稳定） |
| 设计路线 | 数字域直接设计 | 常由模拟原型变换 |
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