27、量子系统中的马尔可夫性与非交换相空间中的谐振子

量子系统中的马尔可夫性与非交换相空间中的谐振子

量子系统的马尔可夫性分析

1. 非马尔可夫性判据
   • Breuer、Laine和Piilo提出了一种新的非马尔可夫性判据，将非马尔可夫动力学与系统 - 储能器相互作用的某些物理特征联系起来。他们把开放系统的非马尔可夫动力学定义为存在信息从环境暂时回流到系统的时间演化过程。这种信息回流可能表现为演化中量子态对的可区分性增加。
   • 对于线性正迹保持映射Φ : ℬ(ℋ) → ℬ(ℋ)，有∣∣Φ𝜌1 − Φ𝜌2∣∣1 ≤ ∣∣𝜌1 − 𝜌2∣∣1 ，这表明量子态的可区分性（由迹距离 𝐷[𝜌1, 𝜌2] := ∣∣𝜌1 − 𝜌2∣∣1 衡量）在时间上不会增加。
   • 定义信息通量 𝜎(𝜌1, 𝜌2; 𝑡) := 𝑑/𝑑𝑡∣∣Λ𝑡(𝜌1 − 𝜌2)∣∣1 来控制 ∣∣Λ𝑡(𝜌1 − 𝜌2)∣∣1 的时间演化。对于幺正动力学， 𝜎(𝜌1, 𝜌2; 𝑡) = 0；对于马尔可夫半群， 𝜎(𝜌1, 𝜌2; 𝑡) < 0。因此，演化 Λ𝑡 是马尔可夫的当且仅当对于所有初始态对 𝜌1 和 𝜌2 以及所有 𝑡 ≥ 0，有 𝜎(𝜌1, 𝜌2; 𝑡) ≤ 0。
2. 两种马尔可夫性定义的关系
   • 如果 Λ𝑡 是可分的，那么 𝜎(𝜌1, 𝜌2; 𝑡) ≤ 0，但反之不成立。可以构造一个两能级系统的量子动力学简单模型，使得 𝜎(𝜌1, 𝜌2; 𝑡) ≤ 0 ，但 Λ𝑡 不是可分