Z₄上自对偶码的研究
1. 引言
在编码理论中，自对偶码是一类重要的码。Z₄上的自对偶码有其独特的性质，与Fq上的自对偶码既有相似之处，也存在重要差异。例如，Z₄上存在奇数长度的自对偶码，这是与其他域上自对偶码不同的地方。下面我们将深入研究Z₄上的自对偶码。
2. Z₄上自对偶码的基本概念
2.1 欧几里得重量与自正交码
根据相关定理，自正交码中每个码字的欧几里得重量是4的倍数。若每个码字的欧几里得重量是8的倍数，则该码是自正交码。这引出了Z₄上I型和II型码的定义。
2.2 I型和II型码的定义
- II型码：若一个自对偶的Z₄线性码中每个码字的欧几里得重量是8的倍数，则称其为II型码。II型码仅存在于长度n ≡ 0 (mod 8)的情况下，且这类码包含所有坐标为±1的码字。例如，长度为p + 1（p ≡ -1 (mod 8)）的扩展Z₄ - 二次剩余码是II型码。
- I型码：若一个自对偶的Z₄线性码中存在某个码字的欧几里得重量不是8的倍数，则称其为I型码。
2.3 欧几里得重量的上界
对于长度为n的Z₄上自对偶码C，有以下上界：
- 若C是II型码，C的最小欧几里得重量至多为8 ⌊n/24⌋ + 8。
- 若C是I型码，C的最小欧几里得重量至多为8 ⌊n/24⌋ + 8，除非n ≡ 23 (mod 24)，此时上界为8 ⌊n/24⌋ + 12。若达到后一个上界，则C可通过缩短长度为n + 1的II型码得到。满足这些上界的码称为欧几里得 - 极
