UVa 136 Ugly Numbers

题目描述

“丑数”（Ugly Numbers\texttt{Ugly Numbers}Ugly Numbers）是指那些质因数只包含222、333或555的正整数。通常约定111也算作丑数。前111111个丑数为：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, … 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 15,\ \dots1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,…

本题要求编写程序，找出并输出第150015001500个丑数。

输入格式

无输入。

输出格式

输出一行，格式为：

The 1500'th ugly number is <number>.

其中<number>应替换为计算出的第150015001500个丑数。

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题目分析

我们需要生成一个序列，序列中的每个数都满足：其质因数只包含222、333、555。换句话说，对于任意丑数nnn，存在非负整数aaa、bbb、ccc，使得：

n=2a×3b×5c n = 2^a \times 3^b \times 5^cn=2a×3b×5c

本题的核心在于按顺序生成丑数，并找到第150015001500个。

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解题思路

方法一：模拟法（朴素判断）

一种直接的方法是：从111开始逐个判断每个正整数是否为丑数，直到找到第150015001500个为止。

判断丑数的方法：

• 将该数不断除以222、333、555，直到不能再被这三个数整除。
• 若最终结果为111，则该数是丑数。

优点：实现简单，易于理解。
缺点：效率较低，因为需要检查很多非丑数。不过对于第150015001500个丑数，其值并不大（约为8.5×1058.5 \times 10^58.5×105）。

时间复杂度：O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)，其中nnn是第150015001500个丑数的值。

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方法二：优先队列法（高效生成）

我们可以利用最小堆（优先队列）来按顺序生成丑数：

1. 初始化一个最小堆，将111压入堆中。
2. 每次从堆中取出最小元素xxx，它就是当前最小的丑数。
3. 将x×2x \times 2x×2、x×3x \times 3x×3、x×5x \times 5x×5压入堆中（若尚未出现过）。
4. 用一个集合记录已生成的丑数，避免重复入堆。
5. 重复上述过程，直到取出第150015001500个丑数。

优点：只生成丑数，无需判断非丑数，效率高。
缺点：需要额外的数据结构（堆和集合）。

时间复杂度：O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)，其中n=1500n = 1500n=1500。

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代码实现

方法一代码（模拟法）

// Ugly Numbers// UVa ID: 136// Verdict: Accepted// Submission Date: 2016-01-08// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有（C）2016，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intmain(){longlongintstart=1;intcounter=1;while(counter<1500){start++;longlongintnumber=start;while(number%2==0)number/=2;while(number%3==0)number/=3;while(number%5==0)number/=5;if(number==1)counter++;}cout<<"The 1500'th ugly number is "<<start<<"."<<endl;return0;}

方法二代码（优先队列法）

// Ugly Numbers// UVa ID: 136// Verdict: Accepted// Submission Date: 2016-01-08// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有（C）2016，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;typedeflonglongintbigNumber;intmain(){intfactors[3]={2,3,5};set<bigNumber>uglyNumbers;priority_queue<bigNumber,vector<bigNumber>,greater<bigNumber>>candidates;candidates.push(1);for(inti=1;i<=1500;i++){bigNumber top;do{top=candidates.top();candidates.pop();}while(uglyNumbers.count(top)>0);uglyNumbers.insert(top);for(intj=0;j<3;j++){bigNumber next=top*factors[j];if(uglyNumbers.count(next)==0)candidates.push(next);}if(i==1500){cout<<"The 1500'th ugly number is "<<top<<"."<<endl;break;}}return0;}

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总结

本题展示了两种生成丑数的方法：

• 模拟法：简单直接，适合输入规模不大的情况。
• 优先队列法：高效且可扩展，适合需要生成大量丑数的场景。

两种方法均能快速通过，输出结果一致。对于此类“按条件生成序列”的问题，优先队列法是一种非常实用的技巧。

最终答案：第150015001500个丑数为859963392859963392859963392。