本系列课程将深入探讨机械手臂的运动学与操作。在正式进入机械手臂的具体内容之前，我们需要补充一些必备的数学基础，核心在于如何精确地描述一个“刚体”（Rigid Body）的运动状态。这是因为在后续分析中，我们通常将机械手臂的各个部件视为刚体来处理。
2.1 概述
问题1：一个刚体的状态是如何描述的？
（1）、在平面上：
·移动 (Translation)：物体可以在平面上沿X轴（水平）和Y轴（竖直）移动 。因此，需要两个参数来确定其位置。这对应两个移动自由度 (2 DOFs)。
·转动 (Rotation)：物体还可以在平面内绕着某个点旋转（顺时针或逆时针）。这需要一个参数来描述其朝向 。这对应一个转动自由度 (1 DOF)。
总结来说，描述一个平面刚体的运动状态，总共需要 3个自由度（2个移动 + 1个转动）。
（2）、在空间上
现在考虑空间中的刚体。世界坐标系相应地增加一个Z轴，变为三维坐标系 {W} (或 {A})。
·移动 (Translation)：物体的质心可以在空间中沿X轴（左右）、Y轴（上下）和Z轴（前后）移动 。因此，需要三个参数来描述其位置。对应三个移动自由度 (3 DOFs)。
·转动 (Rotation)：物体可以分别绕着X轴、Y轴和Z轴进行旋转 。这需要三个参数来描述其姿态。对应三个转动自由度 (3 DOFs)。
因此，描述一个空间刚体的运动状态，总共需要 6个自由度（3个移动 + 3个转动）。
2.2 描述：位置、姿态与坐标系
既然刚体在空间中运动包含移动和转动两部分，有没有一种简洁的方法能将它们统一起来表达呢？
如何整合表示刚体的状态？
在刚体上建立frame，常建立在其坐标系。这个坐标系一般叫body frame
（1）、移动：由body frame的原点位置判断（确定位置）
（2）、转动：就是指body frame坐标系相对world坐标系的转动，这个叫姿态描述（确定方向）
解析：
答案是在 刚体本身 上建立一个坐标系，我们称之为“体坐标系”（Body Frame），通常用 {B} 表示 。这个坐标系是固定在刚体上的，会随着刚体一起运动。通常，我们会将体坐标系的原点建立在刚体的一个固定点上，比如质心 (被视为质量的中心) 。如上图所示，在绿色刚体上画上了一个橘色的坐标系统 {B} 。
通过引入体坐标系 {B}，我们可以这样描述刚体的状态 ：
·移动状态：通过追踪体坐标系 {B} 的原点 (质心) 相对于世界坐标系 {A} (或称为{W}) 的位置来确定。
·转动状态（姿态）：通过观察体坐标系 {B} 的三个坐标轴（XB,YB,ZB）相对于世界坐标系 {A} (或称为{W}) 的朝向或姿态来确定。
这样，借助体坐标系的原点位置和三个轴的姿态，我们就能同时描述刚体的移动和转动状态了。
2.2.1 位置的描述（移动的描述）
如何确定刚体的移动？
我们来更具体地量化描述移动。如前所述，我们在刚体（绿色椭圆）上建立了体坐标系 {B}（橘色），并在旁边设置了世界坐标系 {A} 。要描述移动，关键是追踪体坐标系 {B} 原点（通常设在质心）的位置。
在三维空间中，这个向量有三个分量：，Px、Py和 Pz。例如，上图中的例子 向量P = [10,3,3]T，意味着体坐标系原点在世界坐标系 X轴 上的投影距离是10，Y轴上是3，Z轴上也是3 。只要我们知道在任何时刻这三个分量的值，就能精确掌握刚体重心在空间中的位置 。
2.2.2 位姿的描述（转动的描述）
接下来，我们深入探讨如何描述转动，也就是刚体的姿态。我们利用体坐标系 {B} 的三个主轴来代表刚体在空间中的姿态 。这三个轴向量都是从世界坐标系 {A} 的角度观察和描述的 。
我们可以将这三个单位向量（表示方向）作为列向量，排列起来形成一个3x3的矩阵。这个矩阵被称为旋转矩阵 (Rotation Matrix)，记作（表示{B}(体坐标系)相对于{A}(世界坐标系) 的旋转）：
为什么会有点积出现？
其实就是将body frame坐标系的某个轴投影到A坐标系。例如：将B坐标系的XB轴投影到A坐标系的XA、YA、ZA轴上，就是XB与A坐标系三个轴的点积。
因此，旋转矩阵:用 {B}(体坐标系) 在 {A}(世界坐标系) 上的 (点积) 投影，来实现体坐标系 (体姿态) 到世界坐标系的转换。
例题：
旋转矩阵的特性1：
特性1：
坐标系 {B}相对于坐标系{A} 的旋转矩阵与坐标系 {A}相对于坐标系{B} 的旋转矩阵差一个转置
与下面对比：
旋转矩阵特性2：
拓展：一个刚体的运动如何描述？
前面讨论的是某个瞬间的几何状态（位置和姿态）。而“运动”是状态随时间的变化。如何描述这种变化呢 ？
·速度与加速度：记录下刚体质心（即体坐标系原点）在不同时间点的位置，形成一条运动轨迹（如PPT中的红色曲线）。对这条轨迹（位置向量）关于时间进行一次微分，得到质心的速度；进行二次微分，得到质心的加速度 。
·角速度与角加速度：类似地，通过对描述姿态的参数（我们稍后会详细介绍，如旋转矩阵）进行一次和二次微分，可以得到刚体的角速度和角加速度 。
因此，只要能精确描述刚体在任意时刻的几何状态（6个自由度），通过微分运算，就能掌握其完整的运动状态（速度、加速度、角速度、角加速度）。
