【MAT1001】求和

求和符号（Σ）及其常用公式详解

一、求和符号的写法

求和符号是数学中表示累加运算的重要符号，其基本结构如下：

∑i=mnai \sum_{i=m}^{n} a_ii=m∑n​ai​

这个表达式表示将序列am,am+1,⋯ ,ana_m, a_{m+1}, \cdots, a_nam​,am+1​,⋯,an​中的所有项相加，即：

∑i=mnai=am+am+1+⋯+an \sum_{i=m}^{n} a_i = a_m + a_{m+1} + \cdots + a_ni=m∑n​ai​=am​+am+1​+⋯+an​

符号说明：

• ∑\sum∑：求和符号（希腊字母Sigma的大写）
• iii：索引变量（常用iii,jjj,kkk表示）
• mmm：求和的起始值
• nnn：求和的终止值
• aia_iai​：关于索引iii的表达式

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二、常用公式（非常重要！）

以下公式中，∑i=1n\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i=1∑n​表示iii从1到nnn求和。这些公式在计算黎曼和、数列求和等问题中至关重要。

1. 常数求和

∑i=1nc=n×c \sum_{i=1}^{n} c = n \times ci=1∑n​c=n×c

理解：将常数ccc相加nnn次，结果就是nnn乘以ccc。

示例：
∑i=153=3+3+3+3+3=5×3=15 \sum_{i=1}^{5} 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 \times 3 = 15i=1∑5​3=3+3+3+3+3=5×3=15

2. 一次求和（等差数列求和）

∑i=1ni=n(n+1)2 \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}i=1∑n​i=2n(n+1)​

理解：这是从1加到nnn的公式，也是等差数列1,2,3,⋯ ,n1, 2, 3, \cdots, n1,2,3,⋯,n的求和公式。

示例：
∑i=110i=1+2+⋯+10=10×112=55 \sum_{i=1}^{10} i = 1 + 2 + \cdots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55i=1∑10​i=1+2+⋯+10=210×11​=55

3. 平方求和

∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6 \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}i=1∑n​i2=6n(n+1)(2n+1)​

理解：这是前nnn个自然数平方和的公式。

示例：
∑i=14i2=12+22+32+42=1+4+9+16=30 \sum_{i=1}^{4} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30i=1∑4​i2=12+22+32+42=1+4+9+16=30
用公式验证：
4×5×96=1806=30 \frac{4 \times 5 \times 9}{6} = \frac{180}{6} = 3064×5×9​=6180​=30

4. 立方求和

∑i=1ni3=[n(n+1)2]2 \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2i=1∑n​i3=[2n(n+1)​]2

理解：有趣的是，前nnn个自然数立方和等于它们和的平方。

示例：
∑i=13i3=13+23+33=1+8+27=36 \sum_{i=1}^{3} i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36i=1∑3​i3=13+23+33=1+8+27=36
用公式验证：
[3×42]2=[6]2=36 \left[ \frac{3 \times 4}{2} \right]^2 = [6]^2 = 36[23×4​]2=[6]2=36

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三、求和的性质

求和符号具有以下几个重要性质，掌握这些性质可以简化计算过程：

1. 常数因子可提取

∑i=1n(c⋅ai)=c⋅∑i=1nai \sum_{i=1}^{n} (c \cdot a_i) = c \cdot \sum_{i=1}^{n} a_ii=1∑n​(c⋅ai​)=c⋅i=1∑n​ai​

理解：求和中的常数因子可以提到求和符号外面。

示例：
∑i=14(3i)=3×1+3×2+3×3+3×4=3×(1+2+3+4)=3×10=30 \sum_{i=1}^{4} (3i) = 3 \times 1 + 3 \times 2 + 3 \times 3 + 3 \times 4 = 3 \times (1+2+3+4) = 3 \times 10 = 30i=1∑4​(3i)=3×1+3×2+3×3+3×4=3×(1+2+3+4)=3×10=30

2. 和的求和等于求和的和

∑i=1n(ai+bi)=∑i=1nai+∑i=1nbi \sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_ii=1∑n​(ai​+bi​)=i=1∑n​ai​+i=1∑n​bi​

理解：两个序列逐项相加的和，等于各自序列的和再相加。

示例：
∑i=13(i+i2)=(1+1)+(2+4)+(3+9)=2+6+12=20 \sum_{i=1}^{3} (i + i^2) = (1+1) + (2+4) + (3+9) = 2 + 6 + 12 = 20i=1∑3​(i+i2)=(1+1)+(2+4)+(3+9)=2+6+12=20
分别求和：
∑i=13i=1+2+3=6,∑i=13i2=1+4+9=14,6+14=20 \sum_{i=1}^{3} i = 1+2+3=6, \quad \sum_{i=1}^{3} i^2 = 1+4+9=14, \quad 6+14=20i=1∑3​i=1+2+3=6,i=1∑3​i2=1+4+9=14,6+14=20

3. 求和区间的可加性

∑i=1nai=∑i=1kai+∑i=k+1nai(1≤k<n) \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1}^{k} a_i + \sum_{i=k+1}^{n} a_i \quad (1 \leq k < n)i=1∑n​ai​=i=1∑k​ai​+i=k+1∑n​ai​(1≤k<n)

理解：可以将一个求和拆分成两个（或多个）部分求和。

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四、在黎曼和中的应用

在计算黎曼和时，这些求和公式尤为有用。例如，计算函数f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2在区间[0,1][0, 1][0,1]上的定积分近似值：

使用右端点黎曼和，将区间nnn等分：
Δx=1n,xi=in \Delta x = \frac{1}{n}, \quad x_i = \frac{i}{n}Δx=n1​,xi​=ni​

黎曼和为：
Sn=∑i=1nf(xi)Δx=∑i=1n(in)2⋅1n=1n3∑i=1ni2 S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{i}{n} \right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2Sn​=i=1∑n​f(xi​)Δx=i=1∑n​(ni​)2⋅n1​=n31​i=1∑n​i2

应用平方求和公式：
Sn=1n3⋅n(n+1)(2n+1)6=(n+1)(2n+1)6n2 S_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}Sn​=n31​⋅6n(n+1)(2n+1)​=6n2(n+1)(2n+1)​

当n→∞n \to \inftyn→∞时：
lim⁡n→∞Sn=13 \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{3}n→∞lim​Sn​=31​

这正是∫01x2dx=13\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}∫01​x2dx=31​的精确值。

五、练习题详解

基础题

1. 直接计算

题目：计算以下求和式的值：

∑k=15(2k−3) \sum_{k=1}^{5} (2k-3)k=1∑5​(2k−3)

解题思路：
可以直接展开计算，也可以使用求和公式。

方法一：直接展开

∑k=15(2k−3)=(2×1−3)+(2×2−3)+(2×3−3)+(2×4−3)+(2×5−3)=(−1)+1+3+5+7=15 \begin{aligned} \sum_{k=1}^{5} (2k-3) &= (2\times1-3) + (2\times2-3) + (2\times3-3) + (2\times4-3) + (2\times5-3) \\ &= (-1) + 1 + 3 + 5 + 7 \\ &= 15 \end{aligned}k=1∑5​(2k−3)​=(2×1−3)+(2×2−3)+(2×3−3)+(2×4−3)+(2×5−3)=(−1)+1+3+5+7=15​

方法二：使用求和公式

∑k=15(2k−3)=2∑k=15k−∑k=153=2×5×62−3×5=2×15−15=30−15=15 \begin{aligned} \sum_{k=1}^{5} (2k-3) &= 2\sum_{k=1}^{5} k - \sum_{k=1}^{5} 3 \\ &= 2 \times \frac{5\times6}{2} - 3 \times 5 \\ &= 2 \times 15 - 15 \\ &= 30 - 15 = 15 \end{aligned}k=1∑5​(2k−3)​=2k=1∑5​k−k=1∑5​3=2×25×6​−3×5=2×15−15=30−15=15​

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2. 展开求和

题目：将以下求和式写成展开形式（不计算和）：

∑j=04(j2+2j) \sum_{j=0}^{4} (j^2 + 2j)j=0∑4​(j2+2j)

展开过程：

∑j=04(j2+2j)=(02+2×0)+(12+2×1)+(22+2×2)+(32+2×3)+(42+2×4)=0+3+8+15+24 \begin{aligned} \sum_{j=0}^{4} (j^2 + 2j) &= (0^2 + 2\times0) + (1^2 + 2\times1) + (2^2 + 2\times2) + (3^2 + 2\times3) + (4^2 + 2\times4) \\ &= 0 + 3 + 8 + 15 + 24 \end{aligned}j=0∑4​(j2+2j)​=(02+2×0)+(12+2×1)+(22+2×2)+(32+2×3)+(42+2×4)=0+3+8+15+24​

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3. 改写上下标

题目：将以下求和式改写为从i=1i=1i=1开始的求和：

∑i=59(i−4) \sum_{i=5}^{9} (i-4)i=5∑9​(i−4)

解题步骤：

1. 设j=i−4j = i - 4j=i−4，则：

   • 当i=5i=5i=5时，j=1j=1j=1
   • 当i=9i=9i=9时，j=5j=5j=5

2. 原式变为：

∑j=15j \sum_{j=1}^{5} jj=1∑5​j

3. 用iii替换jjj，得到最终结果：

∑i=15i \sum_{i=1}^{5} ii=1∑5​i

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黎曼和相关题

4. 写出表达式

题目：对于函数f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3在区间[0,2][0, 2][0,2]上，写出用nnn个矩形的左端点黎曼和表达式（不化简）。

解题过程：

1. 计算区间宽度和子区间宽度：

Δx=b−an=2−0n=2n \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}Δx=nb−a​=n2−0​=n2​

2. 确定左端点坐标：

左端点公式：xi=a+(i−1)Δxx_i = a + (i-1)\Delta xxi​=a+(i−1)Δx

但注意：当iii从 1 到nnn时，左端点实际上是xi−1=a+(i−1)Δxx_{i-1} = a + (i-1)\Delta xxi−1​=a+(i−1)Δx

更简单的写法是：xi=0+iΔxx_i = 0 + i\Delta xxi​=0+iΔx，但iii从 0 到n−1n-1n−1

3. 左端点黎曼和表达式：

Sn=∑i=0n−1f(xi)⋅Δx=∑i=0n−1f(0+i⋅2n)⋅2n S_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \cdot \Delta x = \sum_{i=0}^{n-1} f\left(0 + i\cdot\frac{2}{n}\right) \cdot \frac{2}{n}Sn​=i=0∑n−1​f(xi​)⋅Δx=i=0∑n−1​f(0+i⋅n2​)⋅n2​

4. 代入函数f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3：

Sn=∑i=0n−1(0+i⋅2n)3⋅2n=∑i=0n−1(2in)3⋅2n S_n = \sum_{i=0}^{n-1} \left(0 + i\cdot\frac{2}{n}\right)^3 \cdot \frac{2}{n} = \sum_{i=0}^{n-1} \left(\frac{2i}{n}\right)^3 \cdot \frac{2}{n}Sn​=i=0∑n−1​(0+i⋅n2​)3⋅n2​=i=0∑n−1​(n2i​)3⋅n2​

5. 化简表达式：

Sn=∑i=0n−18i3n3⋅2n=∑i=0n−116i3n4 S_n = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{8i^3}{n^3} \cdot \frac{2}{n} = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{16i^3}{n^4}Sn​=i=0∑n−1​n38i3​⋅n2​=i=0∑n−1​n416i3​

最终答案：

Sn=∑i=0n−116i3n4 S_n = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{16i^3}{n^4}Sn​=i=0∑n−1​n416i3​

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5. 计算具体黎曼和

题目：对于函数f(x)=2x+1f(x)=2x+1f(x)=2x+1在区间[1,4][1, 4][1,4]上，用n=3n=3n=3的右端点黎曼和进行计算。要求使用求和符号表示并算出数值。

解题过程：

1. 计算子区间宽度：

Δx=b−an=4−13=1 \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{4-1}{3} = 1Δx=nb−a​=34−1​=1

2. 确定右端点坐标：

右端点公式：xi=a+iΔx=1+i×1=1+ix_i = a + i\Delta x = 1 + i\times1 = 1 + ixi​=a+iΔx=1+i×1=1+i

3. 右端点黎曼和表达式：

S3=∑i=13f(xi)⋅Δx=∑i=13f(1+i)⋅1 S_3 = \sum_{i=1}^{3} f(x_i) \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{3} f(1+i) \cdot 1S3​=i=1∑3​f(xi​)⋅Δx=i=1∑3​f(1+i)⋅1

4. 代入函数f(x)=2x+1f(x)=2x+1f(x)=2x+1：

f(1+i)=2(1+i)+1=2i+3 f(1+i) = 2(1+i) + 1 = 2i + 3f(1+i)=2(1+i)+1=2i+3

S3=∑i=13(2i+3) S_3 = \sum_{i=1}^{3} (2i+3)S3​=i=1∑3​(2i+3)

5. 计算求和：

S3=(2×1+3)+(2×2+3)+(2×3+3)=5+7+9=21 \begin{aligned} S_3 &= (2\times1+3) + (2\times2+3) + (2\times3+3) \\ &= 5 + 7 + 9 \\ &= 21 \end{aligned}S3​​=(2×1+3)+(2×2+3)+(2×3+3)=5+7+9=21​

最终答案：S3=21S_3 = 21S3​=21

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6. 极限形式

题目：将积分∫0πsin⁡(x) dx\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx∫0π​sin(x)dx表示为右端点黎曼和的极限形式（用nnn表示）。

解题过程：

1. 将区间[0,π][0, \pi][0,π]等分为nnn个子区间：

Δx=π−0n=πn \Delta x = \frac{\pi - 0}{n} = \frac{\pi}{n}Δx=nπ−0​=nπ​

2. 右端点坐标：

xi=0+iΔx=iπn,i=1,2,…,n x_i = 0 + i\Delta x = \frac{i\pi}{n}, \quad i=1,2,\ldots,nxi​=0+iΔx=niπ​,i=1,2,…,n

3. 右端点黎曼和：

Sn=∑i=1nf(xi)⋅Δx=∑i=1nsin⁡(iπn)⋅πn S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \sin\left(\frac{i\pi}{n}\right) \cdot \frac{\pi}{n}Sn​=i=1∑n​f(xi​)⋅Δx=i=1∑n​sin(niπ​)⋅nπ​

4. 取极限得到定积分：

∫0πsin⁡(x) dx=lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞[∑i=1nsin⁡(iπn)⋅πn] \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{i=1}^{n} \sin\left(\frac{i\pi}{n}\right) \cdot \frac{\pi}{n} \right]∫0π​sin(x)dx=n→∞lim​Sn​=n→∞lim​[i=1∑n​sin(niπ​)⋅nπ​]

最终答案：

∫0πsin⁡(x) dx=lim⁡n→∞[∑i=1nsin⁡(iπn)⋅πn] \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{i=1}^{n} \sin\left(\frac{i\pi}{n}\right) \cdot \frac{\pi}{n} \right]∫0π​sin(x)dx=n→∞lim​[i=1∑n​sin(niπ​)⋅nπ​]

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挑战题

7. 双重求和转换

题目：证明以下等式成立，并计算其值：

∑i=13∑j=12(i+j)=∑j=12∑i=13(i+j) \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{2} (i+j) = \sum_{j=1}^{2} \sum_{i=1}^{3} (i+j)i=1∑3​j=1∑2​(i+j)=j=1∑2​i=1∑3​(i+j)

解题过程：

左边计算：先对jjj求和，再对iii求和

1. 内层求和（对jjj）：

∑j=12(i+j)=(i+1)+(i+2)=2i+3 \sum_{j=1}^{2} (i+j) = (i+1) + (i+2) = 2i + 3j=1∑2​(i+j)=(i+1)+(i+2)=2i+3

2. 外层求和（对iii）：

∑i=13(2i+3)=(2×1+3)+(2×2+3)+(2×3+3)=5+7+9=21 \sum_{i=1}^{3} (2i+3) = (2\times1+3) + (2\times2+3) + (2\times3+3) = 5 + 7 + 9 = 21i=1∑3​(2i+3)=(2×1+3)+(2×2+3)+(2×3+3)=5+7+9=21

右边计算：先对iii求和，再对jjj求和

1. 内层求和（对iii）：

∑i=13(i+j)=(1+j)+(2+j)+(3+j)=6+3j \sum_{i=1}^{3} (i+j) = (1+j) + (2+j) + (3+j) = 6 + 3ji=1∑3​(i+j)=(1+j)+(2+j)+(3+j)=6+3j

2. 外层求和（对jjj）：

∑j=12(6+3j)=(6+3×1)+(6+3×2)=9+12=21 \sum_{j=1}^{2} (6+3j) = (6+3\times1) + (6+3\times2) = 9 + 12 = 21j=1∑2​(6+3j)=(6+3×1)+(6+3×2)=9+12=21

结论：两边计算结果相等，均为 21，等式成立。

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六、学习建议

1. 掌握核心技巧

• 明确起点和终点：每次计算前先确定索引变量的取值范围
• 常数优先提取：将常数因子提到求和符号外面简化计算
• 合理拆分求和：将复杂的求和式拆分为简单的求和式组合
• 灵活变换索引：通过变量替换改变求和上下标

2. 黎曼和解题步骤

1. 确定区间：明确积分区间[a,b][a, b][a,b]
2. 计算Δx\Delta xΔx：Δx=b−an\Delta x = \frac{b-a}{n}Δx=nb−a​
3. 确定取点方式：
   • 左端点：ci=a+(i−1)Δxc_i = a + (i-1)\Delta xci​=a+(i−1)Δx
   • 右端点：ci=a+iΔxc_i = a + i\Delta xci​=a+iΔx
   • 中点：ci=a+(i−12)Δxc_i = a + (i-\frac{1}{2})\Delta xci​=a+(i−21​)Δx
4. 写出黎曼和：Sn=∑i=1nf(ci)⋅ΔxS_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \cdot \Delta xSn​=∑i=1n​f(ci​)⋅Δx
5. 化简计算：应用求和公式，化简表达式

3. 练习方法

1. 从具体到一般：先练习n=3,4n=3,4n=3,4的具体数值计算，再推广到一般的nnn
2. 手写推导：在纸上完整推导每个例题，加深理解
3. 总结规律：总结不同类型题目的解题模式和技巧

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七、常见错误提醒

1. 求和上下标错误：注意iii的起始值和终止值
2. 忘记提取常数：将常数因子留在求和符号内会增加计算复杂度
3. 公式混淆：分清∑i2\sum i^2∑i2和(∑i)2(\sum i)^2(∑i)2的区别
4. 黎曼和取点错误：混淆左端点、右端点、中点的取点公式
5. 极限计算错误：在n→∞n\to\inftyn→∞时正确处理1n\frac{1}{n}n1​等项的极限